Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Полный факторный эксперимент»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Полный факторный эксперимент

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Полный факторный эксперимент», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Полный факторный эксперимент». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Полный факторный эксперимент», текстовый формат

1 Лекция 3. Полный факторный эксперимент 2.1. Основные положения регрессионного анализа. При изучении стохастических зависимостей в инженерных задачах представляет интерес установление зависимости y от x в виде функции y = f(x) + ε, где x − неслучайная независимая переменная объекта исследования; y – случайная зависимая переменная объекта исследования; ε – случайная переменная, характеризующая отклонение зависимой переменной от линии регрессии (остаточная переменная). Выделяют две основные задачи регрессионного анализ: 1) определение и анализ так называемого адекватного уравнения регрессии, содержащего факторы и заданные функции факторов, влияющие на зависимую переменную; 2) определение адекватного уравнения регрессии и оптимальных значений факторов, доставляющих экстремум зависимой функции. Зависимая переменная в первой задаче называется функций отклика, во второй задаче − параметром оптимизации. Свойства факторов. Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая определенное значение. Факторы определяет воздействие на зависимую переменную объекта исследования. 1. Каждый фактор имеет область определения, то есть совокупность значений, которые фактор может принимать. 2. При планировании эксперимента используется дискретная область определения фактора, то есть рассматривается некоторая наперед заданная совокупность значений. Под уровнем фактора понимается фиксированное значение фактора. 3. В качестве фактора можно использовать качественный признак с заданным числом уровней и количественной оценкой уровня, например, холодная погода – 0, теплая погода - 1. 4. Фактор должен быть управляем. 5. Фактор должен непосредственно воздействовать на объект и определяться однозначно. 6. Факторы должны быть независимы между собой и некоррелированы. 7. В качестве фактора можно рассматривать функцию управляемой независимой переменной или функцию от нескольких независимых переменных. 8. Факторы должны быть совместимы, то есть их комбинации осуществимы. 1 2 Область определения факторов называется факторным пространством. Свойства зависимой переменной. Зависимая переменная должна быть однозначной функцией от факторов. Модель регрессионного анализа. Пусть y – зависимая переменная; k – число факторов; xj – фактор (значение) с номером j, где j = 1, 2, 3...k. Регрессионная модель или модель регрессионного анализа – это уравнение регрессии в виде известной зависимости функции отклика от факторов: 𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑘 ). Наибольшее распространение в регрессионном анализе нашли полиномиальные модели первой и второй степени. Линейная модель регрессионного анализа. Под линейной регрессионной моделью понимается полиномиальная модель первой степени, содержащая факторы в первой степени. Ее также называют линейной моделью регрессионного анализа: 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 +. . +𝑏𝑘 𝑥𝑘 , где bj – коэффициент регрессии при факторе с номером j, j = 1, 2, 3,...k. Можно показать, что необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения. Таким образом, для линейной модели достаточно два уровня варьирования фактора. При этом в качестве фактора в линейной модели можно рассматривать линейную величину как функцию от независимой переменной, например, вместо фактора x2 можно рассматривать фактор в виде параметра или величины z2 как функции от x2: z2 = sin(x2). В качестве фактора в линейной модели может быть линейная величина в виде функции от нескольких независимых переменных, например, вместо x2 можно принять величину z2 как функцию от x2, x3: z2 = sin(x2) x3(1/2). Необходимым условием (посылом) линейной модели регрессии служит линейность каждого фактора, два (и более) уровня варьирования каждого фактора и отсутствие линейной связи между факторами, входящими в уравнение регрессии. Полиномиальная модель регрессионного анализа 2-й степени. Полиномиальная регрессионная модель второй степени содержит слагаемые с линейными, квадратичными членами и с парными произведениями факторов. Например, для двух факторов полином 2-ой степени запишется так: 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + 𝑏11 𝑥1 2 + 𝑏22 𝑥2 2 + 𝑏12 𝑥1 𝑥2 . Полный факторный эксперимент 2 3 Задачей эксперимента служит определение коэффициентов регрессии заданной модели регрессии. Простейшей моделью служит линейная модель. Линейное уравнение регрессии можно найти при варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае эксперименты планируют так, в каждом испытании каждый фактор принимал наибольшее или наименьшее значение. Каждая комбинация факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. При определении максимума и минимума фактора задаются основным (нулевым) уровнем фактора. Пусть k – число факторов; j – номер фактора; Xj – натуральное значение фактора с номером j; Хj0 – натуральное среднее значение фактора с номером j; Ij – половина разности натуральных максимального и минимального значений фактора с номером j. Тогда минимальный и максимальный уровни факторов находятся по формулам 𝑋𝑗𝑚𝑖𝑛 = 𝑋𝑗0 − 𝐼𝑗 ; 𝑋𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑋𝑗0 + 𝐼𝑗 , где j = 1, 2, k. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. Также интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области варьирования. Выбор интервалов варьирования — сложная задач, так как она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента. Точность ранжирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. В планировании эксперимента вместо натуральных уровней факторов удобно использовать безразмерные, кодированные значения факторов. Пусть Ij – половина разности натуральных максимального и минимального значений фактора с номером j; xj – кодированное (нормированное, центрированное) значение фактора с номером j. По определению, 𝑋𝑗 −𝑋𝑗0 𝑥𝑗 = . 𝐼𝑗 Очевидно, при варьировании на двух уровнях кодированными значениями фактора служат +1 и -1. Уровень +1 соответствует максимальному значению фактора, -1 – минимальному значению фактора. Таблицы с теми сочетаниями уровней факторов, которые используются в эксперименте, называют матрицами планирования эксперимента. Нетрудно найти все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами (Табл. 3.1). 3 4 Таблица 3.1. Матрица планирования с двумя факторами (i – номер испытания) i x1i x2i 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку — вектор-строкой. Таким образом, в табл. 3.1 имеем два вектора-столбца по факторам и четыре вектор-строки по испытаниям. На рис. 3.1 дана геометрическая интерпретация факторного пространства в двухфакторном эксперименте. x2 1 −1 1 x1 −1 Рис. 3.1. Область определения факторов x1, x2 Матрица планирования для многих факторов громоздка, Для ее упрощения вводятся обозначения вектор-строк. Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: x1 – a, x2 – b, x3 – c и т, д. Строка обозначается строкой букв для факторов на верхнем уровне. Так, строка матрицы планирования с факторами на верхних уровнях обозначается всеми латинскими буквами. Испытания со всеми факторами на нижних уровнях уеловно обозначается (1). Матрица планирования вместе с принятыми буквенными обозначениями и зависимой переменной приведена в табл. 3.2. 4 5 i 1 2 3 4 Таблица 3.2. Матрица планирования с двумя факторами (i – номер испытания) x1i x2i Обозначения Зависимая строк менная -1 -1 (1) y1 1 -1 a y2 -1 1 b y3 1 1 ab y4 пере- Эксперимент, в котором факторы варьируют на двух уровнях и проводятся испытания при всех возможных комбинациях факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Нетрудно установить, что число всех испытаний в ПФЭ определяется числом k факторов и равно 2k. В таблице 3.3 представлена матрица ПФЭ 23. При построении матрицы планирования ПФЭ можно воспользоваться следующим алгоритмом: 1. Строим матрицу ПФЭ с одним фактором, состоящую из двух опытов с первым фактором на нижнем и верхнем уровнях. 2. Если имеем два фактора, то в матрице ПФЭ из пункта 1 добавляем столбец второго фактора на нижнем уровне и матрицу ПФЭ из пункта 1 с добавленным столбцом второго фактора на верхнем уровне. 3. Если имеем три фактора, то в матрице ПФЭ из пункта 2 добавляем столбец третьего фактора на нижнем уровне и матрицу ПФЭ из пункта 2 с добавленным столбцом третьего фактора на верхнем уровне. И т. д. Другими словами алгоритм основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана при значениях нового фактора на нижнем уровне, а затем — на верхнем. В таблице 3.3 представлена матрица ПФЭ 23. Таблица 3.3. План эксперимента 23 i 1 2 3 4 5 6 x1i -1 1 -1 1 -1 1 x2i -1 -1 1 1 -1 -1 Строки x3i -1 -1 -1 -1 1 1 (1) a b ab c ac 5 yi y1 y2 y3 y4 y5 y6 6 7 8 -1 1 1 1 1 1 bc abc y7 y8 На рис. 3.2 дана геометрическая интерпретация факторного пространства ПФЭ 23. x3 1 1x −1 2 1 −1 x1 −1 Рис. 3.1. Область определения факторов x1, x2 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Аналогично можно построить матрицу ПФЭ 24 (Табл. 3.4). Таблица 3.4. Матрица ПФЭ 24 Строки x1i x2i x3i x4i yi -1 -1 -1 -1 (1) y1 1 -1 -1 -1 a y2 -1 1 -1 -1 b y3 1 1 -1 -1 ab y4 -1 -1 1 -1 c y5 1 -1 1 -1 ac y6 -1 1 1 -1 bc y7 1 1 1 -1 abc y8 -1 -1 -1 -1 (1) y9 1 -1 -1 1 ad y10 -1 1 -1 1 bd y11 1 1 -1 1 abd y12 -1 -1 1 1 cd y13 1 -1 1 1 ac y14 -1 1 1 1 bcd y15 1 1 1 1 abcd y16 6 7 Пусть k – число факторов; n – число опытов; j − номер фактора; i − номер опыта. Матрица ПФЭ имеет следующие свойства: 1) симметричность относительно центра, означающее, что сумма значений элементов каждого столбца равна нулю: ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑗𝑖 = 0. 2) нормирование, означающее, что сумма квадратов значений элементов каждого столбца равна числу испытаний: ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑗𝑖 2 = 𝑛. 3) ортогональность, означающее, что скалярное произведение любых двух вектор-столбцов равно нулю: ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑗𝑖 𝑥𝑚𝑖 = 0; j < m; j, m =1, 2.. k. Очевидно, число опытов в матрице ПФЭ равно 2k. Реализация испытаний ПФЭ 2k позволяет определить линейное уравнение регрессии 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 +. . +𝑏𝑘 𝑥𝑘 . Можно доказать, что коэффициенты линейной регрессии можно рассчитать по формулам 𝑏0 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 /𝑛; 𝑏𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑥𝑗𝑖 /𝑛, (1) где j = 1, 2, k. Рассмотрим ПФЭ 22 (Табл. 3.2). Проведение эксперимента по данному плану позволяет найти линейное уравнение регрессии: y = b0 + b1x1+ b2x2, где, в соответствии с формулами (1) при k = 2; N = 4 𝑏0 = (𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 )/4; 𝑏1 = (𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦3 − 𝑦4 )/4; 𝑏2 = (𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦3 − 𝑦4 )/4. Можно видеть, что для расчета коэффициента регрессии достаточно знать вектор-столбец по соответствующему фактору и вектор-столбец зависимой переменной. При расчете свободного члена уравнения регрессии под фактором понимается фактор 0 (нулевой фактор), а вектором-столбцом фактора − вектор с компонентами, равными 1. Такой столбец вводится в матрицу ПФЭ с обозначением x0 или x0i. Можно заметить, что четыре испытания ПФЭ 22 позволяют составить четыре уравнения и определить четыре неизвестных. Добавим к матрице ПФЭ 2 2 в таблице 3.2 столбец, обозначающий произведение факторов x1x2 (Табл. 3.5) Таблица 3.5. Матрица планирования ПФЭ 22 i x1i x2i x1ix2i Зависимая переменная 1 -1 -1 1 y1 2 1 -1 -1 y2 3 -1 1 -1 y3 7 8 4 1 1 1 y4 Полученная матрица имеет те же перечисленные свойства и позволяет записать уравнение регрессии в виде полинома второй степени без квадратичных членов y = b0 + b1x1+ b2x2 + b12x1x2, (2) где 𝑏12 = (𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 )/4. i 1 2 3 4 Введем квадратичные эффекты факторов x12, x22 (Табл. 3.6). Таблица 3.6. Матрица планирования ПФЭ 22 x0i x1i x2i x1ix2i x1i2 x2i2 Зависимая переменная 1 -1 -1 1 1 1 y1 1 1 -1 -1 1 1 y2 1 -1 1 -1 1 1 y3 1 1 1 1 1 1 y4 Можно видеть, что столбец, соответствующий нулевому фактору, совпадает со столбцами квадратичных эффектов факторов. Запишем линейное уравнение регрессии, понимая под квадратичными факторами новые факторы, так: y = b0 + b1x1+ b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + b22x22 . Так как столбцы совпадают, то коэффициенты b0, b11, b22, рассчитанные по формулам (1), одинаковы. Это означает, что в свободном члене, рассчитанном по формуле (2), имеются вклады квадратичных эффектов факторов. Отсюда можно сделать такой вывод: модель регрессии (2) не может считаться достаточно точной, если влияние квадратичных эффектов значительное. Аналогично можно установить, что в свободном члене, рассчитанном по формуле (2), имеются вклады эффектов всех факторов в виде степеней с четным показателем. Отметим, что уравнение регрессии (2) справедливо для кодированных факторов. Для натуральных факторов оно примет такой вид: 𝑋 −𝑋 𝑋 −𝑋 𝑋 −𝑋 𝑋 −𝑋 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 1 10 + 𝑏2 2 20 + 𝑏12 1 10 2 20 𝐼1 или где 𝐼2 𝐼1 𝐼2 y = с0 + с1X1+ с2X2 + с12X1X2, 𝑐0 = 𝑏0 − 𝑏1 𝑋10 /𝐼1 − 𝑏2 𝑋20 /𝐼2 − 𝑏12 𝑋10 𝑋20 /(𝐼1 𝐼2 ); 𝑏 𝑏 𝑋 𝑐1 = 1 − 12 20; 𝐼1 𝐼1 𝐼2 𝑏12𝑋10 𝑐2 = 𝑏2 /𝐼2 − 𝐼1 𝐼2 ; 8 9 𝑐12 = 𝑏12 /(𝐼1 𝐼2 ). Список литературы 1. Ю. П. Адлер и др. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М., Наука, 1976. 2. В. А. Штерензон. Моделирование технологических процессов. Екатеринбург. 2010. 3. В.А. Тобоев Т.В. Картузова М.С. Толстов. Прикладной статистический анализ для инженеров. Уч. пос. Чебоксары. 2014. 4. Н.А. Спирин и др. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. Уч. пос. Екатеринбург. 2015. ... 9

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Информационные технологии

Имитационное моделирование экономических процессов

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Учебное пособие для слушателей программы eMBI Москва 2005 СОСТАВИТЕЛЬ: кандидат экономических наук,...

Автор лекции

Лычкина Н.Н.

Авторы

Высшая математика

Математическая статистика и планирование промышленного эксперимента

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное у...

Статистика

Планирование эксперимента

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента позволяет оптимизировать трудовые, временные и материальные затраты на проведение исследований, об...

Информатика

Классический эксперимент при факторном планировании

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента позволяет оптимизировать трудовые, временные и материальные затраты на проведение исследований, об...

Метрология

Планирование измерительного эксперимента и обработка результатов измерений

Федеральное агентство по образованию ГОУВПО Тульский государственный университет Кафедра «ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ И МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ» И. Э. Аверьянова...

Автор лекции

И.Э. Аверьянова, Э.С. Спиридонов, С.И. Соловьев

Авторы

Электроника, электротехника, радиотехника

Основы планирования эксперимента

Министерство образования Российской Федерации ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра “Метрология, стандартизация и сер...

Автор лекции

Хамханов К.М.

Авторы

Металлургия

Планирование эксперимента

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА» ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ В инженерной практике часто возникает необходимость сделать надежные вывод...

Эконометрика

Методы планирования однофакторного эксперимента

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВ...

Автор лекции

Бурыкин А.А.

Авторы

Высшая математика

Центральная предельная теорема и теоремы непрерывности . Многомерное нормальное распределение.Дискретный и общий случай.

Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (II-é êóðñ, âåñåííèé ñåìåñòð, ìîäóëü III) ëåêòîð Ñ.Â. Øàïîøíèêîâ 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåì...

Автор лекции

Шапошников С. В.

Авторы

Высшая математика

Изучение распределений непрерывных случайных величин в среде MATHCAD

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В СРЕДЕ MATHCAD Целью лабораторной работы является изучение наиболее расп...

Смотреть все