Конспект лекции по дисциплине «Классы Z_p и диофантовы уравнения», docx
Файл загружается
Благодарим за ожидание, осталось немного.
Конспект лекции по дисциплине «Классы Z_p и диофантовы уравнения», текстовый формат
Лекция 1. Классы и диофантовы уравнения. Пусть p - любое натуральное число, больше единицы. Тогда все целые числа могут быть разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все числа, дающие при делении на p один и тот же остаток. Если класс чисел, дающих при делении на p остаток r, обозначить через (r), то получим всего n различных классов: (0), (1), (2), ..., (p - 1). Очевидно, что два числа a и b тогда и только тогда принадлежат к одному классу, когда их разность a - b делится на p (по существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю n). Пусть Zp - множество всех определенных таким образом классов целых чисел. Определим в Zp операции сложения и умножения. Если (r) и (s) - два класса, причем класс (r) содержит число a и (s) - число b, то суммой (r) + (s) данных классов назовем класс, содержащий число a + b, и произведением (r)·(s) - класс, содержащий число ab. Сумма и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей a и b этих классов. В самом деле, если a и a' - два числа из класса (r) и b и b' - два числа из класса (s), то числа a - a' и b - b' делятся на p. Поэтому также (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') и ab - a'b' = (ab - a'b) + (a'b - a'b') = (a - a')b + a'(b - b') делятся на n. Но это значит, что числа a + b и a' + b' принадлежат к одному классу и то же верно для чисел ab и a'b'. Рассмотрим диофантово уравнение вида ax+by=с, где a,b,c-некоторые целые числа. Прежде всего отметим, что, вообще говоря, такое уравнение может и не иметь целочисленных решений. Действительно, допустим, что уравнение ax+by=c имеет решение. Если коэффициенты a и b имеют общий делитель d >1, то число ax+by, которое стоит в левой части, можно без остатка разделить на d. Поэтому и правую часть уравнения, т.е. свободный член c, можно без остатка разделить на d. Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема Если наибольший общий делитель d коэффициентов a и b больше 1, а свободный член c не делится на d, то уравнение ax+by=c не имеет решений в целых числах. С другой стороны, имеет место следующая Теорема Любое уравнение ax+by=c, где НОД (a, b) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах. Следствие. Класс (a) имеет обратный в Zp тогда и только тогда, когда a и p-взаимно простые числа.
