Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Классы Z_p и диофантовы уравнения»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Классы Z_p и диофантовы уравнения

Выбери формат для чтения

docx

Конспект лекции по дисциплине «Классы Z_p и диофантовы уравнения», docx

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Классы Z_p и диофантовы уравнения». docx

txt

Конспект лекции по дисциплине «Классы Z_p и диофантовы уравнения», текстовый формат

Лекция 1. Классы и диофантовы уравнения. Пусть p - любое натуральное число, больше единицы. Тогда все целые числа могут быть разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все числа, дающие при делении на p один и тот же остаток. Если класс чисел, дающих при делении на p остаток r, обозначить через (r), то получим всего n различных классов: (0), (1), (2), ..., (p - 1). Очевидно, что два числа a и b тогда и только тогда принадлежат к одному классу, когда их разность a - b делится на p (по существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю n). Пусть Zp - множество всех определенных таким образом классов целых чисел. Определим в Zp операции сложения и умножения. Если (r) и (s) - два класса, причем класс (r) содержит число a и (s) - число b, то суммой (r) + (s) данных классов назовем класс, содержащий число a + b, и произведением (r)·(s) - класс, содержащий число ab. Сумма и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей a и b этих классов. В самом деле, если a и a' - два числа из класса (r) и b и b' - два числа из класса (s), то числа a - a' и b - b' делятся на p. Поэтому также (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') и ab - a'b' = (ab - a'b) + (a'b - a'b') = (a - a')b + a'(b - b') делятся на n. Но это значит, что числа a + b и a' + b' принадлежат к одному классу и то же верно для чисел ab и a'b'. Рассмотрим диофантово уравнение вида ax+by=с, где a,b,c-некоторые целые числа. Прежде всего отметим, что, вообще говоря, такое уравнение может и не иметь целочисленных решений. Действительно, допустим, что уравнение ax+by=c имеет решение. Если коэффициенты a и b имеют общий делитель d >1, то число ax+by, которое стоит в левой части, можно без остатка разделить на d. Поэтому и правую часть уравнения, т.е. свободный член c, можно без остатка разделить на d. Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема Если наибольший общий делитель d коэффициентов a и b больше 1, а свободный член c не делится на d, то уравнение ax+by=c не имеет решений в целых числах. С другой стороны, имеет место следующая Теорема Любое уравнение ax+by=c, где НОД (a, b) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах. Следствие. Класс (a) имеет обратный в Zp тогда и только тогда, когда a и p-взаимно простые числа.

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Высшая математика

Центральная предельная теорема и теоремы непрерывности . Многомерное нормальное распределение.Дискретный и общий случай.

Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (II-é êóðñ, âåñåííèé ñåìåñòð, ìîäóëü III) ëåêòîð Ñ.Â. Øàïîøíèêîâ 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåì...

Автор лекции

Шапошников С. В.

Авторы

Высшая математика

Изучение распределений непрерывных случайных величин в среде MATHCAD

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В СРЕДЕ MATHCAD Целью лабораторной работы является изучение наиболее расп...

Высшая математика

Однородные Диофантовы уравнения второй степени

ОДНОРОДНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ Определение 1. Функция f : Rn −→ R называется однородной степени k, если f (tx1 , tx2 , . . . , txn ) =...

Высшая математика

Мотивировка и определение. Теория игр. Игры и их решение

16.10.07 Вектор Шепли. Мотивировка и определение Определение. Автоморфизмом игры <N,v> называется всякая перестановка  элементов множества N, удовлет...

Высшая математика

Основные понятия помехоустойчивого кодирования

Лекция 1: Введение Основные понятия помехоустойчивого кодирования 13 февраля 2009 г. Claude Elwood Shannon Shannon C. E. A mathematical theory of comm...

Высшая математика

Дифференцируемость ФНП в точке. Экстремумы ФНП

ТЕMA 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ЭКСТРЕМУМЫ ФНП 1. ФНП В ТОЧКЕ. Геометрический смысл дифференциала Дифференциалы высших порядков ФНП. Пусть N0 — точка повер...

Высшая математика

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. частные производные. Дифференцируемость ФНП

ТEMA 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФНП 1. Ограниченные и замкнутые множества Полож...

Высшая математика

Оценка интеграла. Теорема о среднем

5. Оценка интеграла. Теорема о среднем Укажем границы, между которыми наверняка заключено значение интеграла. Теорема 7. (об оценке определенного инте...

Высшая математика

Теория групп и симметрий

ТЕОРИЯ ГРУПП И СИММЕТРИЙ; ЛЕКЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ–ФИЗИКОВ 1 Содержание 1 Введение 7 2 Конечные группы 8 2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение груп...

Высшая математика

Основы высшей математики

А.Н Кованцов Основы высшей математики (для академических программ) Книга 1 Рига 2005. Учебник рассчитан на студентов, обучающихся по академическим про...

Автор лекции

Кованцов А. Н.

Авторы

Смотреть все