История систем счисления

Введение

Люди всё время вынуждены пользоваться числами, по этой причине им необходимо знать, как верно обозначать и представлять в письменной форме любые числа, выполнять вычислительные операции над ними. Помощь в этом оказывает метод числового представления, применяемый сегодня везде и называемый десятичной системой счисления. Дети начинают осваивать эту систему с самого первого класса и продолжают это делать до самого окончания школы.

История возникновения систем счисления

Люди начали использовать числовые термины ещё в древние времена, и тогда же возникла потребность называть и записывать числа. Языки для обозначения, письменного отображения числовых значений и осуществления операций над ними называются системами счисления. Самая простая система отображения натуральных чисел может состоять всего лишь из одной цифры, к примеру, это может быть символ «палочка», который обозначает цифру один. Путём повторения этого символа, возможно отобразить любое число, то есть любое число N отображается как набор палочек в количестве N штук. Такая система счисления обеспечивает удобное выполнение арифметических операций. Но такой метод отображения крайне неудобен и, если используются большие числовые значения, практически неизбежны ошибки в подсчёте. Это послужило причиной возникновения других, более практичных и экономичных методов отображения чисел. Например, в Древней Греции имела хождение система, которая называлась аттическая нумерация. В ней числа от одного до четырёх отображались чёрточками:

Рисунок 1. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Цифра пять обозначалась символом Г (в древности так обозначалась буква «пи», первая буква слова «пенте», то есть пять). Цифры от шести до девяти имели следующие обозначения:

Рисунок 2. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Число десять имело символ Δ (первая буква слова «дека», что в переводе означает десять). Для чисел сто, тысяча и десять тысяч использовались символы Н, Х, М – это так же первые буквы слов, обозначающих эти числа.

Рисунок 3. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Остальные числовые значения отображались разными наборами этих символов. Затем на смену аттической нумерации в третьем веке до нашей эры пришла система под названием ионийская. Для чисел од одного до девяти она использовала первые девять букв алфавита. А именно: α (альфа), β (бэта), γ (гамма), δ (дельта), ε (эпсилон), ς (фау), ζ (дзета), η (эта), тэта).

Рисунок 4. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для чисел от десяти до девяносто использовались очередные девять букв алфавита:

i (йота), κ (каппа), λ (ламбда), μ (мю), ν (ню), ξ (кси), ο (омикрон), π (пи), с (копа).

Рисунок 5. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для чисел от ста до девятисот применили последние девять греческих букв из алфавита. Нумерацию чисел буквами алфавита, аналогичную древнегреческой, сформировали также древние евреи, арабы и некоторые иные народности, жившие на Ближнем Востоке. Какая народность была в этом списке первой пока неизвестно.

В Древне Римской системе счисления базовыми считались числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, которые кодировались соответственно символами I, V, X, L, C, D и М. Остальные целочисленные значения, вплоть до пяти тысяч, отображались путём повтора перечисленных выше цифр. Но, когда были некоторые условия. Когда большая по значению цифра стоит впереди меньшей, то эти цифры суммируются, если же наоборот, то меньшее число вычитается из большего. Например: VI = 6, то есть 5 + 1; IV = 4, то есть 5 – 1; XL = 40, то есть 50 – 10; LX = 60, то есть 50 + 10. Повторяться один и тот же символ цифры может не больше трёх раз подряд: LXX = 70, LXXX = 80, число девяносто пишется как XC (но не LXXXX). Ещё примеры: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Следует отметить, что арифметические операции в такой форме обозначений, над числами, имеющими большое количество разрядов, достаточно сложны в реализации. Тем не менее, римская система действует и в настоящее время. Её применяют в некоторых специфических случаях (юбилейные даты и так далее). В древней Руси цифры также кодировались буквенными символами. Чтобы отличить цифру от реальной буквы, над цифровыми символами сверху писали некоторый значок, который назывался «титло». Написание первых девяти чисел имело следующий вид:

Рисунок 6. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Разряды десятков кодировались следующим образом:

Рисунок 7. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Разряды сотен имели такие коды:

Рисунок 8. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Разряды тысяч имели такие же обозначения с титлами сверху, как и первая девятка цифр, но для отличия они имели слева обозначение «≠»: ≠А = 1000, ≠В = 2000, ≠Е = 5000. Разряды десятков тысяч имели название «тьма» и обозначались теми же знаками, что и единицы, но обведённые кругами. Вероятно, по аналогии с этими обозначениями появился термин «тьма народу», то есть очень большое скопление людей. Разряды сотен тысяч имели название «легион» и их тоже кодировали путём обведения символов единиц кругами, но состоящими из точек.

Рисунок 9. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

= 100 000.

Разряды миллионов имели название «леодрам». Они обозначались символами единиц, но в кругах из лучей или запятых:

Рисунок 10. Системы счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

= 1 000 000.

Разряды десятков миллионов носили название «ворон» или «вранам» и обозначались единичными символами, обведёнными кругами из крестиков или просто буквами К с обеих сторон. Разряды сотен миллионов имели название «колода». Она кодировалась написанием над буквой и под ней квадратных скобок.

В Древнем Вавилоне были иероглифы, составленные из набора тонких горизонтальных и вертикальных клиньев, и эти два символа применялись также для отображения чисел. Одиночный вертикальный клин служил для обозначения единицы, а горизонтальный клин обозначал десять. В Древнем Вавилоне счёт вёлся группами по шестьдесят единиц. К примеру, число 185 изображалось как три раза по шестьдесят и ещё пять. Запись этого числа имела всего два символа. Один из них кодировал число разрядов шестидесяти, а второй кодировал число единиц. О возникновении шестидесятеричной системы счисления Древнего Вавилона есть различные гипотезы, но нет достоверно доказанной. Самой распространённой считается гипотеза о смешении двух сообществ с разными системами счисления, а именно шестеричной и десятичной. Итогом компромиссного решения стало появление шестидесятеричной системы счисления.