Для наиболее полного понимания темы следует ознакомиться с основными определениями, поэтому давайте узнаем, что же такое параллельные прямые и с чем их едят, а также некоторую другую основную терминологию и теоремы, которые касаются данной темы.
Используемые термины и понятия
Расстояние — это мера удалённости, используемая для характеристики местоположения двух объектов относительно друг друга.
Иногда расстояние можно измерить с помощью измерительных приборов, например, линейки или штангенциркуля, в случае поездки на автомобиле расстояние можно вычислить через измеритель скорости. Но чаще всего приходится прибегать к каким-либо вычислениям.
Параллельные прямые в пространстве — это такие прямые, которые не имеют каких-либо совместных точек и при этом лежат в одной плоскости. То есть по сути выходит, что есть два необходимых критерия для того чтобы назвать пару прямых параллельными друг другу:
1) обе такие прямые можно поместить в некую одиночную плоскость 2) 2 параллели никогда не встретятся
Не стоит путать такие прямые со скрещивающимися. Эти прямые также никогда не встречаются между собой, но рассматривая их, становится очевидно, что их нельзя расположить в одной плоскости.
Параллельные прямые можно встретить много где в окружающем нас мире: это и линии пола и потолка, и противопложные стороны поверхности стола, и стороны двери.
Расстояние между такими прямыми есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из одной точки любой из двух изучаемых прямых, на другую. Эта длина всегда будет одинаковой вне зависимости от того, из какой точки проведёна линия под прямым углом.
Докажем теорему, приведённую выше.
Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми
Рисунок 1. Расстояние между параллельными прямыми
Рассмотрим наши прямые, про которые заранее известно, что они параллельны, назовём их $l$ и $k$.
Выберем пару рандомных точек $X$ и $Y$, возлежащих на $l$, и опустим из них под прямым углом линии на $k$.
Здесь совсем неважно, где именно вы выберете точки, главное правило — они не должны совпадать друг с другом.
Точки пересечения построенных линий с прямой $k$ назовём $A$ и $B$.
Так как наши прямые параллельны, то по условию параллельности накрест лежащие углы $XBA$ и $BXY$ при гипотенузе $XB$ получившегося прямоугольника равны между собой. Гипотенуза в данном случае является секущей к исследуемым прямым.
Собираем всё вместе о треугольниках $XBA$ и $BXY$:
- У них есть общая сторона $XB$.
- Стороны этих треугольников $XY$ и $AB$ равны между собой.
- Значения углов $XBA$ $BXY$ тоже одинаковы, а сами по себе эти углы образованы сторонами, которые также равны между собой.
Из всего вышеперечисленного следует, что $XBA$ и $BXY$ являются равными по первому признаку равенства треугольников, и следовательно, длины перпендикуляров $XA$ и $YB$ равны.
Данное соотношение будет соблюдаться для любых произвольно выбранных точек $X$ и $Y$ — то есть длины перпендикуляров, опущенных с одной параллельной прямой на другую, всегда будут равны, что и требовалось доказать.
Доказанное утверждение справедливо как для параллельных прямых, рассматриваемых в планиметрии, так и для прямых, рассматриваемых в объёмном мире, так как 2 параллельные между собой прямые всегда образуют плоскость.
Задачи на определение расстояния между параллельными прямыми в объёмном мире
Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.
Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.
Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость
Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.
На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.
Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.
Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.
Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:
$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_2 – y_1 & z_2 - z_1\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & z_2 - z_1\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & y_2 – y_1\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}$
В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.
Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:
Прямая $d$ задана уравнением $\frac{x + 1}{1}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z + 4}{5}$,
а её параллель $k$ уравнением $\frac{x - 3}{1}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z – 2}{5}$.
Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.
Координаты нормального вектора для прямой $k$ $\{3;-1;2\}$, а для прямой $d$ $\{-1; 2; -4\}$. Координаты направляющего вектора для первой прямой $\{1; 3; 5\}$.
Подставим данные числа в обозначенную выше формулу:
$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} 2 + 1 & -4 - 2\\ 3 & 5 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} -1 – 3 & -4 - 2\\ 1 & 5 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} -1 -3 & 2 + 1\\ 1 & 3 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2}}$
$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} 3 & -6\\ 3 & 5 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} -4 & -6\\ 1 & 5 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} -4 & 3\\ 1 & 3 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{35}} =\frac{ (15 +18)^2 +(-20+6)^2 +(-12-3)^2}{\sqrt{35}}≈6,568$
Решение примера, приведённого выше, реализовано по формуле, полученной через векторное произведение, кому-то такой способ может показаться более просты, а кому-то наоборот — сложным.
Но в любом случае воспользовавшись обоими вариантами решения оба алгоритма легко можно проверить.
Алгоритм с векторным произведением рассмотрен нами ниже для этой же задачи, из него становится понятно, каким образом получена используемая выше формула.
Найдите расстояние между параллельными прямыми из задачи, изложенной выше, через векторное произведение.
В этом случае вычисление расстояния между прямыми осуществляется по формуле:
$ρ = \frac{\overline{M_0M_1}×\overline{s}}{|\overline{s}|}$,
где $M_0M_1$ - вектор, соединяющий 2 произвольных точки на двух параллельных прямых
Нормальные вектора для первой и второй прямых соответственно будут $\{3;-1;2\}$ и $\{-1; 2;-4\}$.
Направляющий вектор для обеих прямых совпадает, его координаты $s=\{1;3;5\}$
Найдём векторную разность между нормальными векторами, которая будет координатами вектора $M_0M_1$
$\overline{M_0M_1} = \overline{r_2} - \overline{r_2} = \{3;-1;2\} - \{-1; 2;-4\} = \{4; -3; 6\}$
Теперь необходимо высчитать векторное произведение вектора $\overline{M_0M_1}$ на вектор $\overline{s}$:
$\overline{M_0M_1} ×\overline{s} = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 4 & -3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{array} = i \begin{array}{|cc|} -3 & 6\\ 3 & 5 \\ \end{array} + j \begin{array}{|cc|} 4 & 6\\ 1 & 5 \\ \end{array} + k \begin{array}{|cc|} 4 & -3\\ 1 & 3 \\ \end{array} = -33i + 14j + 15k = \{-33; 14; 15\}$
$|\overline{M_0M_1} ×\overline{s}| =\sqrt{(-33)^2 + 14^2 + 15^2} = \sqrt{1510} ≈ 38,859$
А сейчас пришла очередь определить длину направляющего вектора $s$:
$|\overline{s}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = 5, 916$
В результате конечный ответ составит:
$ρ = \frac{ 38,859}{ 5, 916} = 6,568$
