Квантовые числа
Строение электронных орбиталей имеет сферическую симметрию не во всех случаях. Тогда, когда на решение уравнения Шредингера не наложены ограничения по сферической симметрии, строение орбиталей определяют квантовые числа, и соответствующие им физические величины. Данные параметры являются целыми числами.
Так, главное квантовое число ($n$) отвечает за квантование энергии электрона в атоме:
и связано с размером (объемом) орбитали электрона. При увеличении $n$ расстояние от максимума электронной плотности до центра атома (ядра) увеличивается.
Орбитальное квантовое число ($l$) отвечает за форму орбиталей и квантование орбитального момента количества движения электрона $(L)$:
Магнитное квантовое число $m$ ответственно за ориентацию орбитали и квантование проекции орбитального момента электрона на избранное направление (например, $z$):
Наличие магнитного квантового числа ведет к расщеплению энергетического уровня $E_n$ на $2l+1$ подуровень, с соответствующим расщеплением линий спектра.
Вырождение уровней по орбитальному моменту
Электрон может иметь одну величину энергии (одно главное квантовое число), но при этом находиться в нескольких состояниях (то есть его состояние может описывать несколько разных волновых функций). Состояния, имеющие одинаковую величину главного квантового числа, но разные значения орбитального и магнитного квантовых чисел называют вырожденными. При этом количество подобных состояний является кратностью вырождений.
Охарактеризуем состояние атома с помощью орбитального квантового числа $l$, в таком случае величина $L$ определена выражением (2), его проекция находится при помощи выражения (3) и она принимает $2l+1$ значение. При этом кратность вырождения на энергоуровне $n$ найдем как сумму числа проекций $L_z$ по всем величинам $l$ от $0$ до $n-1$. При этом имеем арифметическую последовательность:
Орбитальный механический момент электрона
Решение уравнения Шредингера дает то, что момент импульса электрона (механический орбитальный момент) ($L$) не может принимать произвольные значения, он квантуется и дискретен, причем его величина определена выражением:
где $l$ -- орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме.
Кроме того, следствием того же уравнения является вывод о том, что вектор $\overrightarrow{L}$ может быть ориентирован в пространстве только таким образом, что его проекция на избранное направление (например z) ($L_z$) внешнего магнитного поля имеет квантованные величины, которые определены формулой:
Так как магнитное квантовое число ($m$) при заданном $l$, может иметь $2l+1$ значение, то вектор $\overrightarrow{L}$ имеет в атоме такое же число ориентаций.
Магнитный момент электрона
В том случае, если заряженная части имеет орбитальный механический момент, то она обладает и магнитным моментом. Величину данного момента можно вычислить, рассматривая круговую орбиту движения частицы (электрона). Магнитный момент ($\overrightarrow{p_m}$) для кругового тока можно представить как:
где $T$ -- период обращения электрона по орбите, $S$ -- площадь, которую охватывает орбита электрона. Если рассматривать поле центральных сил, то момент импульса $(L)$ -- интеграл движения, то есть можно записать:
где $m_e$ -- масса электрона, $\rho $ и $\varphi $ полярные координаты (рис.1). Начало системы координат разместим в ядре. Площадь орбиты электрона найдем как:
Подставим результат, полученный для площади орбиты электрона в (5), имеем:
Вообще говоря, магнитный и механические моменты -- векторные величины. Для частицы с положительным зарядом направления магнитного и механического моментов совпадут, тогда как для частицы, заряд которой меньше нуля направления рассматриваемых векторов, противоположны. Следовательно, для точечной частицы, имеющей заряд q, массу $m_q$ запишем:
Для электрона магнитный момент представляют как:
где ${\mu }_B=\frac{q_e\hbar }{2m_e}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2$ -- магнетон Бора, здесь $m_e$ -- масса электрона.
В квантовой теории вместо векторов применяют операторы, соотношения между ними запишем как:
где $\widehat{p_m}$ -- оператор магнитного момента электрона. Для проекций операторов на направление $z$, имеем:
где $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots $ -- магнитное квантовое число. При этом модуль магнитного момента электрона равен:
Задание: Найдите отношение орбитального механического момента импульса электрона, который находится в $f$ -- состоянии к аналогичной величине, но для электрона в состоянии $p$ ($\frac{L_f}{L_p}$).
Решение:
За основу решения задачи примем формулу квантования момента импульса:
\[L=\hbar \sqrt{l\left(l+1\right)}\left(1.1\right).\]Для $f$ -- состояния электрона $l=3$, поэтому выражение (1.1) преобразуется к виду:
\[L_f=\hbar \sqrt{3\left(3+1\right)}=\hbar \sqrt{12}\left(1.2\right).\]Для $p$ -- состояния электрона $l=1$, поэтому выражение (1.1) преобразуется к виду:
\[L_p=\hbar \sqrt{1\left(1+1\right)}=\hbar \sqrt{2}\left(1.3\right).\]Искомое отношение будет равно:
\[\frac{L_f}{L_p}=\frac{\hbar \sqrt{12}}{\hbar \sqrt{2}}=\sqrt{6}.\]Ответ: $\frac{L_f}{L_p}=\sqrt{6}.$
Задание: Какова максимальная величина проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля ($L_z$), если электрон в атоме находится в $f$ -- состоянии?
Решение:
Если электрон по условию задачи находится в $f$ -- состоянии, то орбитальное квантовое число равно $3$ ($l=3$). Тогда магнитное квантовое число может принимать следующие значения:
\[m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm l\to m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\left(2.1\right).\]Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля ($L_z$) определяется как:
\[L_z=\hbar m\ \left(2.2\right).\]Она будет максимальной в случае максимально возможного значения магнитного квантового числа, из условий задачи $m_{max}=3,$ следовательно:
\[L_{zmax}=3\hbar .\]Ответ: $L_{zmax}=3\hbar .$
