Теория нелинейных колебаний начала активно применяться и развиваться в течение последних 50 лет. Основополагающее значение в указанной гипотезе, в частности в концепции автоматических вибраций, принадлежит российскому ученому. М. Ляпунову и его сторонникам, работы которых смогли доказать необходимость использования нелинейных методов в решении сложных задач.
Теория нелинейных колебаний (или нелинейного механического перемещения частиц среды) направлена на исследование нестабильных колебательных движений, описываемых в физике в виде дифференциальных уравнений.
Данная сфера в механике предоставляет более точное представление о характеристиках вибрационных движений автоматических систем. В итоге линейные формулы получаются путем упрощения нелинейных. Поэтому рассмотрение подобных колебаний дает возможность сделать только определенные заключения о свойствах кратковременных движений, которые могут быть лишь приближенными. Несмотря на это, теория нелинейных вибраций включает важные сведения о систематических решениях, появляющихся за рамками стабильности стационарного состояния.
Способы проявления нелинейных эффектов
Нелинейные процессы могут формироваться посредством разнообразных методов. Классический и наглядный пример — это нелинейная спираль, в которой возобновляющая сила непосредственно зависит от начального растяжения. В случае параллельной нелинейности (одинаковый итог при растяжении и сжатии) формула движения частиц любого пространства принимает вид:
$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$
Если на систему периодически воздействует внешняя сила, то в классической гипотезе полагают, что и конечный отклик станет цикличным. Резонанс нелинейного явления при малой частоте отклика заключается в его соответствии с плотностью элементов концепции. При постоянном перемещении вынуждающей силы возникает амплитуда соответствующих частот, в котором вероятны разные значения сдвига частиц.
Существуют и другие комплексные решения, такие, как супергармонические и субгармонические вибрации. Если обязывающая сила имеет целостный вид, то другие колебания становятся более высокими. Гипотеза нелинейного резонанса основывается на предположении, что систематическое влияние предполагает создание периодического отклика.
Самоформирующиеся колебания представляют собой иной важный класс нелинейных процессов. Это вибрационные движения, которые формируются в системах без цикличных внешних периодических сил или воздействий.
Парадигма гипотезы нелинейных колебаний
Теория нелинейных движений стала заменой закона электрических вибраций Ван дер Поля. Последняя была генетически взаимосвязана с созданием принципов гипотезы радиотехнического прибора – лампового распределителя. В таком генераторе, функционирующем с определенным «трением» (т.е. будучи неконсервативной концепцией), постепенно появляются незатухающие колебательные перемещения. Это значит, что система включает источник внутренней энергии (или в систему систематически поступает питание извне). Однако в данном аспекте речь не идет о принужденных вибрациях. Ламповое устройство самостоятельно генерирует цикличные самовозбуждающиеся колебания.
Такие процессы возникают и функционируют за счет универсальной конструкции генератора, включающего, кроме колебательного усилитель и контура, связанных с ударной линией обратной связи.
Оставляя нерешенным вопрос о парадигме указанной гипотезы Ван дер Поля, возможно примерно описать концепцию, которая наблюдалась в трудах Мандельштама, Андронова и их последователей в конце 20-х гг.
В качестве первого и основного элемента в работах ученых выступают «символические обобщения» – математические уравнения, которые определяют и описывают универсальные научные закономерности. В современной физике – это в основном дифференциальные формулы.
Ван дер Поль, в первую очередь, следовал уравнениям, описывающим принцип работы простого лампового распределителя:
$\frac {d^2x}{dt^2} - \mu (1 – 2x^2) \frac {dx}{dt} = x = 0$
Здесь $x$ – общий параметр (в случае генератора – сила и энергия тока), $t$ – определённый период времени, а нелинейный элемент $\frac{x}{dt}$ демонстрирует работу электронной лампы.
Значимую роль в истории теории нелинейных вибраций сыграл так называемый способ припасовывания (позднее названный законом структурно-линейной аппроксимации).
Собственно, в начале 1927 года Мандельштам смог более тщательно проанализировать стабильность колебательных движений, получаемых по указанному принципу. Метод припасовывания и на сегодняшний день широко применяется в гипотезе нелинейных колебаний.
Идеология теории нелинейных процессов
Идеология рассматриваемой гипотезы, прежде всего, характеризует особенности автоколебаний.
Понятия этих явлений были введены Л.В. Андроновым в научных статьях 1928–1929 гг. Фактически с механическими вибрациями имел дело и Ван дер Поль, описывая колебательные движения в ламповом генераторе, но он не так и не смог представить специального термина для них.
В работах Андронова «символическим обобщением» в итоге стало дифференциальное уравнение, по отношению к которому формула Ван дер Поля представляет собой только частный случай. Запись подобной эквивалентности выглядит следующим образом:
$\frac {d^2x}{dt^2} + \frac { 2dx}{dt + \omega^2 x} = f (\frac {x,dx}{dt})$
Идеология появляется вместе с парадигмой, но она распространяется значительно дальше. Идеологические процессы – это выражения и слова, значения которых определяются посредством аналогий, примеров и иллюстраций. Одним из главных признаков использования термина в идеологии является некое размывание его сути. Понятие условно выходит за границы собственной сферы применения.
