Стоячие световые волны
Допустим, что монохроматические волны могут интерферировать, при этом распространяются они навстречу друг другу, в такой ситуации образуются стоячие волны. В электромагнитной стоячей волне существует возможность пространственного разделения электрического и магнитного полей. Что позволяет исследовать их свойства по отдельности.
Свет действует на вещество силами, которые действуют на электроны со стороны электрических и магнитных полей. Первая из этих сил, равная ${\overrightarrow{F}}_E=q_e\overrightarrow{E}$, вторая - ${\overrightarrow{F}}_L=q_e\left[\overrightarrow{v}\overrightarrow{B}\right]$, $\overrightarrow{v}$ - скорость электрона, $q_e$ - его заряд. Магнитная сила существенно меньше электрической, поэтому считается, что электрический вектор в световой волне более важен, иногда его даже называют световым.
Получить стоячие световые волны долго не удавалось в связи с малой длинной волны. Первым получил стоячие световые волны О. Винер в 1890 г.
Колебания вектора напряженности электрического поля в стоячей световой волне
Изучим суперпозицию 2 монохроматических волн, имеющих одинаковые частоты ($\omega $), которые «движутся» навстречу друг другу. Пусть векторы напряженности электрических полей ($\overrightarrow{E}$) заданных волн имеют одинаковую амплитуду ($E_0$) и совершают колебания параллельно оси X. При этом сами волны распространяются вдоль оси Z. В такой ситуации уравнения колебаний для векторов напряженности электрических полей волн запишем:
где знак минус около произведения $kz$ означает то, что волна $E_1$ распространяется по оси $Z$, знак плюс говорит о том, что волна $E_2\ $распространяется против оси $Z$. $\delta $ - сдвиг фаз. В результате появляется суммарная волна, которая подчиняется принципу суперпозиции, ее напряженность равна:
Волна, представленная выражением (3) бегущей не является, так как не имеет характерного для бегущей световой волны множителя вида $t\pm \frac{z}{c}$. При этом выражение ${2E}_0{cos \left(\frac{2kz+\delta }{2}\right)\ }$ можно принять (с точностью до знака) за изменяющуюся по гармоническому закону амплитуду колебаний напряженности поля волны. Напряженность во всех точках меняется с одинаковой частотой и в одной фазе, что показывает множитель ${cos \left(\frac{2\omega t+\delta }{2}\right)\ }.\ $Выражение (3) - уравнение стоячей волны.
В точках на оси $Z$, которые удовлетворяют условию:
напряженность $E\equiv 0$. Эти точки называют узлами.
Точки, в которых выполняется равенство:
называют пучностями, в них амплитуда напряженности поля максимальна. Расстояние между узлами (минимумами) (пучностями (максимумами)) ($\triangle z$) получают из условия:
и оно равно $\frac{\lambda }{2}бегущей$ волны:
Различие между стоячей волной и бегущей в том, что во всех точках стоячей волны колебания напряженности электрического поля в момент времени $t$ происходят в одной фазе. Для бегущей волны фазы колебаний $\overrightarrow{E}$ не совпадают. Так, у стоячей волны существует момент времени, в который напряженность E во всех точках оси $Z$ становится равной нулю.
Колебания вектора магнитной индукции в стоячей световой волне
Вектор магнитной индукции ($\overrightarrow{B}$) полей волн, как и вектор $\overrightarrow{E}$ можно найти, используя принцип суперпозиции. Как известно, векторы $\overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{B}$, $\overrightarrow{k}$ волны образуют правую винтовую тройку векторов, тогда, если волны распространяется вдоль оси $Z$, векторы $\overrightarrow{B_1}$ и $\overrightarrow{B_2}$ можно выразить, используя формулы (1) и (2) как:
Знак минус в правой части выражения (9) учитывает то, что правовинтовая тройка векторов составляется вектором $\overrightarrow{E}$ по направлению оси $X$, вектором $\overrightarrow{В}$ в против направления оси $Y$, волновым вектором в отрицательном направлении оси $Z$. Индукция результирующего поля двух световых волн будет:
Выражение (10) показывает, что $\overrightarrow{В}$ образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны $\overrightarrow{E}.$ Как известно, векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{В}$ лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
При сравнении выражений (3) и (10) можно сделать вывод о том, что колебания во времени электрического и магнитного полей в стоячей световой волне различаются по фазе на $\frac{1}{4}$ периода.
Энергия в стоячей световой волне
Плотность потока энергии определяет вектор Умова - Пойнтинга ($\overrightarrow{P}$):
Значит, в точках, где $\overrightarrow{E}=0\ или\ \overrightarrow{H}=0$ (узлы и пучности) потока энергии нет, так как пучность напряженности $\overrightarrow{E}$ совпадает узлом $\overrightarrow{H}$ (узлом $\overrightarrow{B}$) и наоборот. Получается, что энергия в течение некоторого времени перемещается между соседними узлами и пучностями, переходя из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и обратно. То есть энергия стоячей волны, находящаяся между соседними узлами и пучностями не сохраняется во времени.
Задание: Определите координаты пучностей для электрического вектора $\overrightarrow{E}$ стоячей плоской световой волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды $E_0$, распространяющихся вдоль оси $X$ в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора $\overrightarrow{E}$ в волнах, которые описаны в задаче по оси:
\[E_1=E_0{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.1\right),\]волна, движущая против оси:
\[E_2=E_0{cos \left(\omega t+kx\right)\ }\left(1.2\right),\]Сумма этих волн будет выглядеть как:
\[E=E_1+E_2=E_0{cos \left(\omega t-kx\right)\ }+E_0{cos \left(\omega t+kx\right)\ }=2E_0cos\frac{2\pi x}{\lambda }cos\omega t\left(1.3\right).\]Условие возникновения пучностей в результирующей волне:
\[\frac{2\pi x}{\lambda }=\pm m\pi \left(1.4\right).\]Соответственно, координатами пучностей станут:
\[x_{max}=\pm m\frac{\lambda }{2}\ \left(m=0,1,2\dots \right).\]Ответ: $x_{max}=\pm m\frac{\lambda }{2}\ \left(m=0,1,2\dots \right).$
Задание: Определите координаты узлов для магнитного вектора $\overrightarrow{H}$ стоячей плоской волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды $H_0$, распространяющихся вдоль оси X в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора $\overrightarrow{H}$ в волнах, которые описаны в задаче по оси:
\[H_1=H_0{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.1\right),\]волна, движущая против оси:
\[H_2={-H}_0{cos \left(\omega t+kx\right)\ }\left(2.2\right),\]Сумма этих волн будет выглядеть как:
\[H=H_1+H_2=H_0{cos \left(\omega t-kx\right)\ }{-H}_0{cos \left(\omega t+kx\right)\ }=H_0\left\{{cos \left(\omega t-kx\right)\ }-{cos \left(\omega t+kx\right)\ }\right\}=-2H_0{sin \left(\left(\omega t+kx\right){sin \left(-kx\right)\ }\right)\ }=2H_0{sin \left(\left(\omega t\right){sin \left(kx\right)\ }\right)\ }=2H_0{sin \left(\omega t\right){sin \left(\frac{2\pi }{\lambda }x\right)\ }\left(2.3\right).\ }\]Условия минимумов (узлов) запишем следующим образом:
\[\frac{2\pi }{\lambda }x=\pm m\pi \left(2.4\right).\]Соответственно координаты узлов будут:
\[x_{min}=\pm m\frac{\lambda }{2}\left(m=0,1,2\dots \right).\]Ответ: $x_{min}=\pm m\frac{\lambda }{2}\left(m=0,1,2\dots \right).$ Исходя из полученных результатов примера 1 и примера 2, можно сделать вывод том, что пучности $\overrightarrow{E}$ совпадают с узлами $\overrightarrow{H}$.
