Равномерное и неравномерное движение тела по окружности

Движение по окружности

Частным случаем криволинейного движения в физике является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

Окружность - плоская фигура, поэтому движение по окружности является плоским движением.

Рассмотрим определение движения по окружности.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором $\overrightarrow{r}=R$, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности: $\left|\overrightarrow{r}\right|=R$.

Рисунок 1. Скорость и перемещение при круговом движении в физике

За время $∆t$ тело, двигаясь из точки $A$ в точку $B$, совершает перемещение $\triangle r$, равное хорде $AB$, и проходит путь, равный длине дуги $l$. Радиус-вектор поворачивается на угол ${\mathbf ∆}$${\mathbf \varphi }$. Угол выражают в радианах.

Скорость $\overrightarrow{v}$ движения тела по окружности направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени $\triangle t$, за который эта дуга пройдена: $v=\frac{l}{\triangle t}$

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: $\omega =\frac{\triangle \varphi }{\triangle t}$. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду.

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости величины постоянные: ${\mathbf \omega } = const$; $v = const$.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора $\overrightarrow{r}$ и угол ${\mathbf \varphi }$, который он составляет с осью $Ox$ (угловая координата). Если в начальный момент времени $t_0=0$ угловая координата равна $\varphi $0, а в момент времени t она равна $\varphi $, то угол поворота $∆$$\varphi $ радиуса-вектора за время $∆t=t-t_0$ равен $∆$$\varphi $=$\varphi $-$\varphi $0. Тогда из последней формулы можно получить закон равномерного движения материальной точки по окружности:

$\varphi = \varphi_0 +\omega t$

Он позволяет определить положение тела в любой момент времени $t$.

Учитывая, что $\triangle \varphi =\frac{1}{R}$, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: $\omega =\frac{l}{R\triangle t}=\frac{v}{R}$

Ускорение равномерного движения по окружности

При движении по окружности, как и при всяком криволинейном движении, ускорение можно представить как сумму нормальной ${\overrightarrow{a}}_n$и тангенциальной ${\overrightarrow{a}}_{\tau }$составляющих: $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{\tau }+{\overrightarrow{a}}_n$

При равномерном движении по окружности линейная скорость постоянна, и тангенциальная составляющая ускорения ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}$=0. Следовательно, в этом случае $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_n$.

Рисунок 2. Ускорение и скорость при равномерном круговом движении

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|{\overrightarrow{a}}_n\right|=\frac{v^2}{R}=\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{R}={\omega }^2R$

Важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности кроме центростремительного ускорения являются период и частота обращения.

Период обращения, который можно выразить в виде $T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi R}{v}$ - это время, за которое тело совершается один оборот.

Частота обращения, что отображается $\ \ \nu =\frac{n}{T}$ - это величина, численно равная числу оборотов, которые совершены за единицу времени. Измеряется частота в 1/с.

Период и частота – величины, которые взаимно обратны: $\nu =\frac{1}{T}$

Неравномерное движение по окружности отличается от равномерного только тем, что тангенциальная составляющая ускорения ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}\ne 0$, а линейная скорость $v(t)$ и угловая скорость ${\mathbf \omega }(t)$ непостоянны, а являются функциями времени.

Для случая равноускоренного движения по окружности

$\left|{\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}\right|=a_{\tau }=const; v=v_0+a_{\tau }t; \left|\overrightarrow{v}\right|=\int^t_0{a_{\tau }dt=\frac{a_{\tau }}{t}} ; \left|{\overrightarrow{a}}_n\right|=a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{{a_{\tau }}^2}{rt^2}; {a_{\tau }}^2=a_nrt^2; a=\sqrt{a^2_n+a^2_{\tau }}=a_n\sqrt{1+rt^2}$

В угловых координатах для движения по окружности с угловой скоростью $\omega \left(t\right)=\frac{d\varphi }{dt}$, и угловым ускорением $\varepsilon =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\varphi }{dt^2}$, получаем закон равнопеременного движения по окружности: $\varphi \left(t\right)={\varphi }_0+\omega \left(t\right)t+\varepsilon \frac{t^2}{2}$ , где $\omega \left(t\right)=\frac{v\left(t\right)}{R};;\ \ \ \ \varepsilon =\frac{a_{\tau }}{R}$.