Радиус когерентности
Радиусом когерентности (длиной поперечной пространственной когерентности) называют максимальное поперечное направление распространения волны света, на котором еще возможно увидеть интерференцию. Пространственную когерентность определяют с помощью радиуса когерентности (${\rho }_{kog}$).
\[{\rho }_{kog}\sim \frac{\lambda }{\varphi }\left(1\right),\]где $\varphi =\frac{D}{z_0}$ -- угловой размер источника световых волн, $D$ - размер источника света, $\lambda $ - длина волны света, $z_0$ - расстояние от источника до экрана.
Если источник света круглый, то ${\rho }_{kog}$ во всех направлениях пространства одинаковый и сама область пространственной когерентности круглая. В случае вытянутого источника, радиус пространственной когерентности в разных направлениях различен. Так, если источник света - прямоугольник со сторонами $b_x\ и\ b_y$ в направлениях $x_0$ и $y_0$ радиус пространственной когерентности в разных направлениях имеет вид:
В этом случае область пространственной когерентности имеет вытянутую форму (рис.1).
Рисунок 1.
Пространственная когерентность волны света около поверхности нагретого тела излучения имеет радиус когерентности всего несколько длин волн. При удалении от источника света пространственная когерентность возрастает. Так, радиус когерентности световых волн, которые приходят от Солнца составляет около $0,05 мм$.
Степень пространственной когерентности
Величина (${\gamma }_{12}$), равная:
\[{\gamma }_{12}\left(\theta \right)=\frac{f_{12}\left(\theta \right)}{e^{i\omega_0\theta }}(3)\]называется комплексной степенью когерентности колебаний, ее модуль просто степенью когерентности колебаний в точке:
\[\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|=\left|f_{12}\left(\theta \right)\right|\left(4\right).\]где $f_{12}\left(\theta \right)$ - нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд.
В том случае, если $\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|=0$, интерференционных полос не получается. Колебания называют некогерентными. Если при этом ${\gamma }_{12}\left(\theta \right)=0$ при любых величинах $\theta $, то мы имеем дело с полной некогерентностью. Когерентность называют полной, если $\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|=1$ при любом $\theta $. В таком случае интерференционные полосы максимально контрастны. При $0
Степень когерентности характеризует ухудшение контрастности интерференционных полос.
Эмпирическое определение степени когерентности может быть основано на измерении видимости (видности) $(V)$ и положения интерференционных полос.
где $I_{max},\ I_{min}$ - интенсивности.
Степень когерентности - усредненные характеристики случайного светового поля.
Для опыта Юнга степень пространственной когерентности (${\gamma }_{12}\left(d\right)$) равна:
где $D$ - размер источника света, $\lambda $ - длина волны света, $d$ - расстояния между отверстиями ($S_1и\ S_2$), $z_0$ - расстояние от источника до экрана. Первый ноль функции, которая находится в правой части выражения (6) возникает при $\frac{\pi Dd}{\lambda z_0}=\pi .$ При этом условии ${\gamma }_{12}=0.$ Полосы Юнга исчезают при условии:
Оценку радиуса когерентности для тепловых источников света делают, используя формулы (1) и (7).
Когерентность лазерного пучка
Лазеры являются искусственными источниками когерентного излучения. Время когерентности лазера составляет примерно ${10}^{-3}с,$ что соответствует примерно длине когерентности:
что примерно на 7 порядков больше, чем обычных источников света.
Пространственную когерентность можно определить как сильную, фиксированную связь между электрическими полями в различных точках светового пучка. Необходимым условием пространственной когерентности лазерных пучков служит точная направленность луча лазера. Пучки света, излучаемые лазерами, имеют очень высокую временную и пространственную когерентность, что принципиальным образом отличает это излучение от других видов источников света. Высокую пространственную когерентность в пучке лазера создают с помощью специального устройства, которое входит в структуру лазера - резонатора.
У выходного отверстия лазера пространственная когерентность имеется во всем поперечном сечении пучка излучения. Шумы приводят к тому, что возникновение поперечных мод нарушает пространственную структуру лазерных пучков, при этом поле излучения лазера становится частично когерентным в пространстве. При этом ${\rho }_{kog}$ лазерного пучка существенно выше нелазерных источников излучения. Лазерные пучки делят на многомодовые и одномодовые.
Обозначим $N_{\bot }$ - количество поперечных мод с независимыми фазами. Пусть имеющиеся в лазерном излучении моды запишем как:
где $a_{m,n}$ - комплексная амплитуда, ${\varphi }_{m,n}$ - фазы мод, $m$, $n$ - поперечные индексы, $z$ - координата по направлению распространения пучка. Допустим, что имеем плоский резонатор (прямоугольные зеркала), тогда распределение амплитуд можно определить как:
где
Рисунок 2.
$\beta $ - комплексный параметр, связанный с конструктивными особенностями лазера. $f_n\left(y\right)$ записывается аналогично.
При большом количестве поперечных мод ($N\gg 1$), модуль степени когерентности определится как:
где $\overrightarrow{s}$ - смешение относительно центра пучка излучения, возбуждаемые моды имеют индексы от $m=1$ до $m=N_{\bot }.$
Оцените радиус пространственной когерентности для лампы накаливания с матовой колбой, которая находится на потолке в комнате, если считать, что размеры источника света примерно равны $D\approx 50мм.$ Лампа создает частично когерентное световое поле на поверхности стола, расстояние от лампы до стола равно $z_0=3м.$ Средняя длина волны, которую излучает источник, равна $\left\langle \lambda \right\rangle \approx 550нм.\ $
Решение:
В качестве основы для решения задачи примем формулу:
\[\frac{\left\langle \lambda \right\rangle z_0}{D}={\rho }_{kog}\left(1.1\right)\]Переведем данные из условий задачи в $СИ$, получим:
\[\left\langle \lambda \right\rangle \approx 550нм=5,5\cdot {10}^{-7}м, D\approx 5\cdot 10^{-2}м.\]Проведем вычисления:
\[{\rho }_{kog}=\frac{5,5\cdot {10}^{-7}\cdot 2,7}{5\cdot 10^{-2}}=2,97\cdot {10}^{-5}\left(м\right).\]Ответ: ${\rho }_{kog}=2,97\cdot {10}^{-5}м.$
Перечислите варианты оценки степени когерентности световых пучков.
Решение:
К количественным способам оценки степени когерентности полей можно отнести следующие:
-
С использованием корреляционных функций, которые зависят от пространственных и временных интервалов.
-
С использованием параметра видности (контраст - интерференционной картины), который связан со степенью когерентности.
-
С использованием времени когерентности, определение времени, в течение которого теряется когерентность.
-
С использованием параметра - длина когерентности ($l_{kog}\approx с{\tau }_{kog},\ где\ с$ - скорость света в вакууме). Это способ характеризовать временную когерентность по пути потери когерентности.
-
Используя ширину спектральной линии лазерного спектра для одночастотного лазера можно оценить временную когерентность. Узкие полосы в спектре означают высокую монохроматичность лазера (высокую временную когерентность).
