В линейно деформированных системах между усилиями и перемещениями существует однозначное соответствие, поэтому все силы легко выразить через перемещения, и наоборот. В зависимости от того, какие величины (силы, перемещения или часть сил и часть перемещений) принимаются за основные неизвестные, выделяют три основных метода расчета статически неопределяемых систем: метод сил, метод перемещений, смешанный метод.
Основные формулы механики
Равномерное прямолинейное движение:
$v = \frac {\Delta P}{\Delta t}$
$\vec {a} = \frac {\Delta м}{\Delta t}$
Движение с постоянным ускорением:
$\vec {a} = \vec {0}$
$v = const$
$\Delta \vec {r} = \vec {v} t$
$x = x_0 + v_x t$ - координата
$S= vt$ - путь
Движение по окружности:
$\vec {a} = const$
$\vec {v} = v_0 +\vec {a} t$
$\Delta r = v_0 t + \frac {at^2}{2}$
$x = x_0 + v_ox t + \frac {a_x t^2}{2}$
Статья: Методы строительной механики
Угловая скорость:
$\omega = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}$
$\omega = \frac {2 \pi}{T} = 2 \pi v$
$\omega = \frac {v}{R}$
Центростремительное ускорение:
$a = \frac {v^2}{R}$
Метод сил - универсальный метод расчета статически неопределяемых систем
Его суть и основные этапы расчета покажем на примере рамы. Расчет начинаем с определения степени статической неопределенности. Замкнутые контуры и шарниры в заданной раме отсутствуют, так что получаем: $n = 3 * 0 - 2 * 0 + 5 - 3 = 2$. Отметим, что дальше системы геометрически неизменяемыми считаются заранее, иначе необходимо дополнительно проверять их геометрическую структуру. Итак, рассматриваемая рама является дважды статически неопределяемой, то есть имеет две лишние связи, для определения усилий в которых необходимо составить дополнительные уравнения - уравнения совместимости деформаций. Эти уравнения получают, анализируя так называемую основную систему.
Основной системой метода сил называют такую геометрически неизменяемую и статически определяемую систему, которую получают из заданной системы устранением лишних связей и заменой их усилиями.
Эти усилия в отвергнутых лишних связях являются основными неизвестными метода сил, их называют лишними неизвестными и обозначают $X_1, X_2, X_n$. Собственно говоря, эти силы действовали и в заданной системе, как реакции в ее внутренних или внешних связях. Теперь же по отношению к основной системе силы $X, X_n, 1, ..., 2$ стали внешними активными силами. Эти силы могут приобретать любые значения, в том числе отвечающих действительным значением внутренних усилий и лишних связей.
Как уже отмечалось, лишними могут быть разные связи, поэтому выбор основной системы можно сделать по-разному. Из всех возможных вариантов необходимо выбрать одну основную систему. При этом рационально взять такую, в которой усилия определяются как можно проще. По этим соображений выберем для расчета основную систему.
В дальнейшем расчет заданной рамы заменяем расчетом основной системы. Для того чтобы такая замена была эквивалентной, необходимо и достаточно, чтобы в основной системе перемещения вдоль отвергнутых связей (иначе, в направлении лишних неизвестных) отсутствовали.
Расчет статически неопределимых систем методом сил
Можно дать такую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
- Найти степень статической неопределенности.
- Выбрать основную систему.
- Записать канонические уравнения.
- Построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от действия единичных.
- Неизвестных и заданной нагрузки.
- Определить единичные и грузовые усилия в основной системе.
- Определить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.
- Решить систему уравнений и определить лишние неизвестные.
- Определить окончательные усилия в заданной системе.
Среди связей статически не определяемой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К совершенно необходимым относят связи, при устранении которых система становится геометрически изменяемой.
Примером такой связи может быть вертикальный опорный стержень в раме. Действительно, устранив его, получим мгновенно изменяемую систему. Для абсолютно необходимых связей характерна статическая определимость усилий в них.
Так, в приведенном примере реакция $V_b$ в вертикальном опорном стержне может быть найдена из условия равновесия $ \sum {M_a} = 0$. Исходя из сказанного, при выборе основной системы нельзя отвергать абсолютно необходимые связи.
Связи, при устранении которых система остается геометрически неизменяемой, называют условно необходимыми. Система с откинутым горизонтальным опорным стержнем может быть основной системой метода сил.
Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что количество вариантов основной системы может быть бесконечно большой. Для расчета выбирают один из них, наиболее простой, учитывая определение усилий.
В линейно деформированных системах между усилиями и перемещениями существует однозначное соответствие, поэтому все силы легко выразить через перемещения, и наоборот. В зависимости от того, какие величины (силы, перемещения или часть сил и часть перемещений) принимаются за основные неизвестные, выделяют три основных метода расчета статически неопределяемых систем: метод сил, метод перемещений, смешанный метод.
Метод перемещений
Рассчитывая раму методом сил, после определения излишне неизвестных зон можно определить все остальные усилия и любое перемещение точек рамы. Представьте себе и другую постановку задачи: определить любым образом некоторые перемещения, найти соответствующие усилия. Именно так ставится задача расчета статически неопределимой системы методом перемещений.
Метод перемещений является таким же универсальным методом, как и метод сил, и может применяться для расчета разных сооружений. Однако наибольшего распространение он получил для расчета статически неопределенных рам, что состоят с прямолинейного стержня постоянной жесткости. При этом принимаются такие допущения:
- деформациями стержней при определения перемещений полностью пренебрегают;
- изменения расстояний между концами стержней за счет искривления их осей не принимают во внимание.
Введенные связи можно предоставить в любые перемещения, в том числе и такие, которые соответствуют перемещением заданной рамы. Поскольку заданным смещением узлов соответствуют конкретные усилия, полученная система является кинематически определяемой.
Полученная таким образом система принимается за основную систему метода перемещений. Итак, основной системой метода перемещений является кинематически определяемая система, полученная с заданной точки и введением дополнительных связей в направлении возможных смещений узлов.
