Геометрия механического движения. Равномерное движение по окружности

Любое тело в пространстве движется по определенной траектории.

Существует несколько типов механического движения, которые разделяют по геометрическим особенностям их проистекания.

Виды геометрии движения тел:

• по гиперболе;
• по параболе;
• по окружности;
• по эллипсу;
• по квадратрисе;
• по кривой погони;
• по кривой скорейшего спуска.

Эллипс

Для него характерна сумма расстояний до двух определенных точек $F_{1}$ и $F_{2}$. Эти точки называются фокусами. Эллипс определяют в виде фигуры, которая получается из окружности. При этом необходимо применить аффинное преобразование ортогональной проекции окружности на плоскость.

Отрезок, проходящий перпендикулярно большой оси эллипса и сквозь центральную точку большой оси, концами лежащий на этом эллипсе, называют малой осью эллипса.

Центром эллипса называется точка пересечения малой и большой осей эллипса. На плоскости отрезками a и b изображают большие и малые полуоси эллипса. Они проходят их центра эллипса к вершинам малой и большой оси.

Хорда, которая проходит произвольным образом через центр фигуры, называется диаметром эллипса.

Пара диаметров эллипса, которая сопряжена диаметрами эллипса, обладает свойствами:

• являются серединой хорд;
• параллельно лежат первому диаметру;
• лежат на втором диаметре.

Радиусом эллипса в данной точке считают отрезок, который соединяет центр эллипса с точкой.

Фокальный параметр – половина длины хорды, которая проходит через фокус. Он перпендикулярен большой оси эллипса и высчитывается по формуле:

$p = {\frac {b^{2}}{a}}$

Парабола

Классическим уравнением параболы в прямоугольной системе координат является:

${\displaystyle \textstyle y^{2} = 2px}$, p > 0

Число p представляют в виде фокального параметра. Он равняется расстоянию от директрисы до фокуса. Так как любая точка параболы удалена на равные расстояния от директрисы и фокуса, то и ее вершина будет лежать между фокусом и директрисой на расстоянии ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$.

Квадратичная функция параболы будет являться уравнением параболы:

$y = ax^{2}+bx+c$ при ${\displaystyle a\neq 0}$.

Общее уравнение параболы принимает вид $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0$.

Существует распространенное визуальное представление о движении тел по параболе, которое осуществляется под действием гравитационного поля однородного типа. Это так называемая вторая космическая скорость. Ее также именуют параболической скоростью. Подобная большая скорость позволяет всем телам преодолевать силы притяжения планеты Земля и улетать в космическое пространство. Таким образом, это необходимая скорость вывода тела за пределы гравитационного влияния планеты.

Для ее расчета сначала необходимо записать закон сохранения энергии.

${\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-G{\frac {mM}{R}} = 0$, где:

• $M$ — масса Земли,
• $r$ — радиус земли,
• $m$ — масса тела,
• $h$ - высота над поверхностью Земли,
• $G$ — гравитационная постоянная,
• $v_2$ — вторая космическая скорость.

Между первой и второй космическими скоростями выделяют определенное соотношение в виде:

$v_{2} = {\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}$.

Гипербола

Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от одной до двух определенных точек является постоянным.

${\bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{\bigr |} = 2a$, где $|F_{1}F_{2}|>2a>0$.

Гипербола является:

• квадрикой;
• коническим сечением.

Равнобочная гипербола – такая гипербола, у которой a=b. Равнобочную гиперболу принято выражать в прямоугольной системе координат в уравнении $xy = a^{2}$.

Движение тела по окружности

Линейная скорость представляет собой скорость движения тела по окружности. При таком виде механического движения модуль скорости тела не изменяется с течением времени.

$v = const$

При равномерном движении по окружности изменяется направление вектора скорости.

Центростремительное ускорение – это изменение вектора скорости тела по направлению, где отсутствует тангенциальное ускорение.

Модуль центростремительного ускорения выражается так:

$a = v^2 / R$, где:

• $а$ – центростремительное ускорение,
• $v$ – линейная скорость,
• $R$ – радиус окружности.

При описании движения тела по окружности вводят понятие угла поворота радиуса. На этот угол поворачивается радиус за определенное время. Он проведен из центра окружности до точки, где находится тело в состоянии движения.

1 радиан = $l / R$, при длине окружности $l = 2\Pi R$.

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина $\omega$, которая равняется отношению угла поворота радиуса $\phi$ к промежутку времени, когда был осуществлен поворот.

$\omega = \phi / t$

Линейная скорость при равномерном движении высчитывается по формуле $l = R\phi$.