Что такое конденсатор
Напомним, что конденсатором называется совокупность двух любых проводников, (обкладок) заряды которых одинаковы по величине и противоположны по знаку.
Конфигурация конденсатора такова, что поле, которое создается зарядами, локализовано между обкладками. В общем случае электроемкость конденсатора равна:
\[C=\frac{q}{{\varphi }_1-{\varphi }_2}=\frac{q}{U}\left(1\right),\]где ${\varphi }_1-{\varphi }_2=U$ -- разность потенциалов обкладок, которую называют напряжением и обозначают $U$. Емкость по определению считается положительной величиной. Она зависит только от геометрии обкладок конденсатора их взаиморасположения и диэлектрика. Форму обкладок и их расположение подбирают так, чтобы внешние поля минимально влияли на внутреннее поле конденсатора. Силовые линии поля конденсатора начинались на проводнике с положительным зарядом и заканчивались на проводнике с отрицательным зарядом. Конденсатор может быть проводником, который помещен в полость, окруженную замкнутой оболочкой.
В соответствии с конфигураций конденсаторов можно выделить три большие группы: плоские, сферические и цилиндрические (по форме обкладок). Вычисление емкости конденсатора сводится к определению $напряжения$ конденсатора при известном заряде на его обкладках.
Плоский конденсатор
Плоский конденсатор (рис.1) - это две разноименно заряженные пластины, разделенные тонким слоем диэлектрика. Формула для расчета емкости такого конденсатора представляет собой выражение:
\[С=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{d}\left(2\right),\]где $S$ -- площадь обкладки, $d$ -- расстояние между обкладками, $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость вещества. Чем меньше $d$, тем больше совпадает расчётная емкость конденсатора (2), с реальной емкостью.
Рис. 1
Электроемкость плоского конденсатора, заполненного N слоями диэлектрика, толщина слоя с номером i равна $d_i$, диэлектрическая проницаемость этого слоя ${\varepsilon }_i$ вычисляется по формуле:
\[C=\frac{{\varepsilon }_0S}{\frac{d_1}{{\varepsilon }_1}+\frac{d_2}{{\varepsilon }_2}+\dots +\frac{d_N}{{\varepsilon }_N}}\ \left(3\right).\]Сферический конденсатор
В том случае, если внутренний проводник шар или сфера, внешняя замкнутая оболочка -- концентрическая ему сфера, то конденсатор является сферическим. Сферический конденсатор (рис.2) состоит из двух концентрических проводящих сферических поверхностей с пространством между обкладками, заполненным диэлектриком. Емкость его можно рассчитать по формуле:
\[C=4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}\ \left(4\right),\]где $R_1{\ и\ R}_2$ -- радиусы обкладок.
Рис. 2
Цилиндрический конденсатор
Емкость цилиндрического конденсатора равна:
\[C=\frac{2\pi \varepsilon {\varepsilon }_0l}{{ln \left({R_2}/{R_1}\right)\ }}\left(5\right),\]где $l$ - высота цилиндров, $R_1$ и $R_2$ -- радиусы обкладок. Этот вид конденсаторов представляет собой две коаксиальных (соосных) проводящих цилиндрических поверхности (рис.3).
Рис. 3
Еще одной, но не маловажной характеристикой всех конденсаторов является пробивное напряжение ($U_{max}$)-- это напряжение, при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика. $U_{max}$ зависит от толщины слоя и свойств диэлектрика, конфигурации конденсатора.
Помимо одиночных конденсаторов применяют их соединения. Для того чтобы увеличить емкость используют параллельное соединение конденсаторов (соединение одноименными обкладками). В этом случае результирующая емкость такого соединения может быть найдена как сумма${\ С}_i$ где $С_i$ -- емкость конденсатора с номером i:
\[C=\sum\limits^N_{i=1}{С_i}\ \left(6\right).\]Если конденсаторы соединить последовательно (обкладками с разными знаками заряда), то суммарная емкость соединения будет всегда меньше, чем минимальная емкость любого конденсатора, который входит в систему. В этом случаем для того чтобы рассчитать результирующую емкость складывают величины, обратные к емкостям отдельных конденсаторов:
\[\frac{1}{C}=\sum\limits^N_{i=1}{{\frac{1}{C_i}}_i}\left(7\right).\]Задание: Вычислите электроемкость плоского конденсатора, если площадь обкладок его равна 1см2, расстояние между обкладками равно 1 мм. Пространство между обкладками вакуумировано.
Решение:
Формула для расчета емкости, данного в задаче конденсатора имеет вид:
\[С=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon S}{d}\left(1.1\right),\]где $\varepsilon =1$, ${\varepsilon }_0=8,85\cdot 10^{-12}\frac{Ф}{м}$. $S=1см^2=10^{-4}м^2$, $d=1мм=10^{-3}м.$
Проведем вычисления:
\[С=\frac{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 10^{-4}}{10^{-3}}=8,85\cdot 10^{-13}\ \left(Ф\right).\]Ответ: С $\approx $0,9 пФ.
Задание: Какова напряженность электростатического поля сферического конденсатора на расстоянии x=1 см=${10}^{-2}м$ от поверхности внутренней обкладки, если внутренний радиус обкладки конденсатора $R_1=$1 см${=10}^{-2}м$, внешний $R_2=$ 3 см=${3\cdot 10}^{-2}м$. Напряжение на обкладках равно ${10}^3В$.
Решение:
Напряженность поля, которое создается проводящей заряженной сферой, вычисляется в соответствии с формулой:
\[E=\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q}{r^2}\ \left(2.1\right),\]где $q$ - заряд внутренней сферы (обкладки конденсатора), $r=R_1+x$ --расстояние от центра сферы.
Заряд сферы найдем из определения емкости конденсатора (С):
\[q=CU\ \left(2.2\right).\]Емкость сферического конденсатора определяется как:
\[C=4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}\ \left(2.3\right),\]где $R_1{\ и\ R}_2$ -- радиусы обкладок конденсатора.
Подставим выражения (2.2) и (2.3) в (2.1), получим искомую напряженность:
\[E=\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{U}{{(x+R_1)}^2}4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}=\frac{U}{{(x+R_1)}^2}\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}.\]Так как все данные в задаче уже переведены в систему СИ, проведем вычисления:
\[E=\frac{{10}^3}{{{(1+1)}^2\cdot 10}^{-4}}\cdot \frac{{{10}^{-2}\cdot 3\cdot 10}^{-2}}{{3\cdot 10}^{-2}-{10}^{-2}}=\frac{3\cdot {10}^{-1}}{8\cdot 10^{-6}}=3,75\cdot {10}^4\left(\frac{В}{м}\right).\]Ответ: $E=3,75\cdot {10}^4\frac{В}{м}.$
