Активное сопротивление
Пусть источник переменного тока включен в цепь, в которой индуктивностью и емкостью можно пренебречь. Переменный ток изменяется в соответствии с законом:
\[I\left(t\right)=I_m{sin \left(\omega t\right)\ \left(1\right).\ }\]
Рисунок 1.
Тогда, если применить к участку цепи ($а R в$) (рис.1) закон Ома получим:
\[U=IR=I_m{Rsin \left(\omega t\right)\ \left(2\right),\ }\]где $U$ -- напряжение на концах участка. Разность фаз между током и напряжением равна нулю. Амплитудное значение напряжения ($U_m$) равно:
\[U_m=RI_m\left(3\right),\]где коэффициент $R$ -- называется активным сопротивлением. Наличие активного сопротивления в цепи всегда приводит к выделению тепла.
Статья: Активное, емкостное и индуктивное сопротивление. Закон Ома для цепей переменного тока
Ёмкостное сопротивление
Допустим, что в участок цепи включен конденсатор емкости $С$, а $R=0$ и $L=0$. Будем считать силу тока ($I$) положительной, если она имеет направление, которое указано на рис. 2. Пусть заряд на конденсаторе равен $q$.
Рисунок 2.
Мы можем использовать следующие соотношения:
Если $I(t)$ определена уравнением (1), то заряд выражен как:
где $q_0$ произвольный постоянный заряд конденсатора, который не связан с колебаниями тока, поэтому можем допустить, что $q_0=0.$ Получим напряжение равно:
Формула (6) показывает, что на конденсаторе колебания напряжения отстают от колебаний силы тока по фазе на $\frac{\pi }{2}.$ Амплитуда напряжения на емкости равна:
Величину $X_C=\frac{1}{\omega C}$ называют реактивным емкостным сопротивлением (емкостным сопротивлением, кажущимся сопротивлением емкости). Если ток постоянный, то $X_C=\infty $. Это значит, что постоянный ток не течет через конденсатор. Из определения емкостного сопротивления видно, что при больших частотах колебаний, малые емкости являются небольшими сопротивлениями переменного тока.
Индуктивное сопротивление
Пусть участок цепи имеет только индуктивность (рис.3). Будем считать $I>0$, если ток направлен от $а$ к $в$.
Рисунок 3.
Если в катушке течет ток, то в индуктивности появляется ЭДС самоиндукции, следовательно, закон Ома примет вид:
По условию $R=0. \mathcal E$ самоиндукции можно выразить как:
Из выражений (8), (9) следует, что:
Амплитуда напряжения в данном случае равна:
где $X_L-\ $индуктивное сопротивление (кажущееся сопротивление индуктивности).
Закон Ома для цепей переменного тока
Выражение вида:
\[I_m=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}\left(12\right).\]где
\[Z=\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}(13)\]называют полным электросопротивлением, или импедансом, иногда называют законом Ома для переменного тока. Однако необходимо помнить, что формула (12) относится к амплитудам тока и напряжения, а не мгновенным их значениям.
Задание: Чему равно действующее значение силы тока в цепи. Цепь переменного тока состоит из последовательно соединенных: конденсатора емкостью $C$, катушки индуктивности $L$, активного сопротивления $R$. На зажимы цепи подается напряжение действующее напряжение $U$ частота которого $\nu$.
Решение:
Так как все элементы цепи соединены последовательно, то сила тока во всех элементах одинакова.
Амплитудное значение силы тока выражается «законом Ома для переменного тока»:
\[I_m=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}\left(1.1\right)\]оно связано с действующим значением силы тока как:
\[I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\left(1.2\right).\]В условиях задачи мы имеем действующее значение напряжения $U$, нам в формуле (1.1) требуется амплитуда напряжения, используя формулу:
\[U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\to U_m=\sqrt{2}U\left(1.3\right).\]Подставим в формулу (1.2) формулы (1.1) и (1.3), получим:
\[I=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}U}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}},\]где $\omega =2\pi \nu .$
Ответ: $I=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}}.$
Задание: Используя условия задачи в первом примере, найдите действующие значения напряжений на катушке индуктивности ($U_L$), сопротивлении ($U_R$), конденсаторе ($U_C$).
Решение:
Используем результат примера 1. Напряжение на катушке индуктивности выражается формулой:
\[U_L=I\omega L=2 \pi \nu L\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2 \pi \nu L-\frac{1}{2 \pi \nu C}\right)}^2}}.\]Напряжение на активном сопротивлении ($U_R$) равно:
\[U_R=IR=\frac{UR}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}}.\]Напряжение на конденсаторе ($U_C$) определяется как:
\[U_C=\frac{I}{C2 \pi \nu}=\frac{1}{C2 \pi \nu}\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2 \pi \nu L-\frac{1}{2 \pi \nu C}\right)}^2}}.\]Ответ: $U_L=2\pi \nu L\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}},\ U_R=\frac{UR}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}},U_C=\frac{1}{C2\pi \nu }\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}}.$
