Заказать написание работы

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.



Рисунок 1.

Пусть m(t) - масса ракеты в произвольный момент времени t , а v(t) - ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет mv . Спустя время dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv (величина dm отрицательна). Количество движения ракеты станет равным (m+dm)(v+dv) . Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время dt . Оно равно dm_{газ} v_{газ} , где dm_{газ} - масса газов, образовавшихся за время dt , а v_{газ} - их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент t+dt количество движения системы в момент времени t , найдем приращение этой величины за время dt . Это приращение равно Fdt , где F - геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt . (1)

Время dt и приращения dm и dv устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные dm/dt и dv/dt . Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение dm\cdot dv , как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, dm+dm_{газ} =0 . Пользуясь этим, можно исключить массу газов dm_{газ} . А разность v_{отн} =v_{газ} -v есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

mdv=v_{отн} dm+Fdt . (2)

Разделив на dt , получаем:

m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F . (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела m здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член v_{отн} \frac{dm}{dt} , который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 , получим:

mdv=v_{отн} dm

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи v_{отн} . Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора v_{отн} на это направление будет отрицательной и равной -v_{отн} . Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так mdv=v_{отн} dm . Тогда:

\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} (4)

Скорость газовой струи v_{отн} может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

v=-v_{отн} \int \frac{dm}{m} =-v_{отн} \ln m+C .

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна m_{0} . Тогда из предыдущего уравнения получаем:

C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} тогда: v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} или \frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } }

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

  • Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость \upsilon .

  • Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

  • Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

  • Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью v . Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью v_{отн} относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол \alpha , на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его m_{0} , а конечная m .

Дано: v , v_{отн} , m_{0} , m .

Найти: \alpha -?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

a=\omega ^{2} r=\omega v , причем v=const . Поэтому уравнение движения:

m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} переходит в: mv\omega dt=-v_{отн} dm .

Так как d\alpha =\omega dt есть угол поворота за время dt , интегрируя наше уравнение, получим:

\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: \alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m}

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу m_{0} =250 кг. На какой высоте окажется ракета через t=20 с после начала работы двигателей? Расход топлива равен \mu =4 кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты v_{отн} =1500 м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: m_{0} =250 кг, t=20 с, \mu =4 кг/с, v_{отн}=1500 м/с.

Найти: H -?

Решение:



Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

m\frac{\Delta v_{0} }{\Delta t} =\mu v_{отн} -mg,

где m=m_{0} -\mu t , а v_{0} - скорость ракеты в момент времени t . Разделяя переменные получаем:

\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию v_{0} =0 при t=0 , имеет вид:

v_{0} =v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m_{0} -\mu t} -gt

Учитывая что H_{0} =0 при t=0 получим:

H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} } ).

Подставляя начальные значения, получаем:

H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )=3177,5 м

Ответ: через 20 с ракета окажется на высоте H=3177,5 м.

<-- Предыдущая статья

Задача двух тел
Следующая статья -->

Сила трения покоя. Виды сил сухого трения
Тема работы

Нажав на кнопку "Узнать стоимость", вы соглашаетесь с обработкой персональных данных в соответствии с политикой сервиса

Вход Заказать работу