Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени , а - ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращение и (величина отрицательна). Количество движения ракеты станет равным . Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время . Оно равно , где - масса газов, образовавшихся за время , а - их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент количество движения системы в момент времени , найдем приращение этой величины за время . Это приращение равно , где - геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

. (1)

Время и приращения и устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные и . Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение , как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, . Пользуясь этим, можно исключить массу газов . А разность есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

. (2)

Разделив на , получаем:

. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе добавляется дополнительный член , который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая , получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи . Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора на это направление будет отрицательной и равной . Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так . Тогда:

(4)

Скорость газовой струи может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна . Тогда из предыдущего уравнения получаем:

тогда: или

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

• Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость .

• Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

• Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

• Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры