Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.
Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.
Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.
Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:
Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.
Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.
Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:
- Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
- Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
- С помощью векторного произведения векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x \cdot cos α + y \cdot cos β + z \cdot cos{γ} – p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
- Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением: $M_1H_1 = |x_1 \cdot cos α + y_1 \cdot cos β + z_1 \cdot cos{γ} – p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.
Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями: $d_1$: $\frac {x-2}{2} = \frac {y + 1}{-3} = \frac{z}{-1}$
и $d_2$: $\begin{cases} \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{-2} \\ z – 1 = 0 \end{cases}$
Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве
Для этого воспользуемся следующей формулой:
$ ρ(d_1d_2) = \frac{| \overline{p_1} \cdot \overline{p_2} \cdot \overline{M_1M_2}|}{[\overline{p_1} × \overline{p_2}]}$
Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:
$d_1$: $\frac {x-2}{2} = \frac {y + 1}{-3} = \frac{z}{-1}$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $\overline{p_1}$ с координатами $(2; -3; -1)$
$d_2$: $\begin{cases} \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{-2} \\ z – 1 = 0 \end{cases}$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,
а её направляющий вектор — $\overline{p_2}$ с координатами $(1; -2; 0)$
Теперь найдём вектор $\overline{M_1M_2}$:
$\overline{M_1M_2} = (-1-2;0-(-1);1-0) = (-3; 1; 1)$
Найдём смешанное произведение векторов:
$\overline{p_1} \cdot \overline{p_2} \cdot \overline{M_1M_2} = \begin{array}{|ccc|} 2& 1 & -3 \\ -3& -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} = - \begin{array}{|cc|} 1 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} + \begin{array}{|cc|} 2 & 1 \\ -3 & -2 \\ \end{array} = -(1 - 6) + (4 + 3) = 4$
Теперь найдём векторное произведение векторов:
$[|\overline{p_1} × \overline{p_2}|] = \begin{array}{|ccc|} i& j & k \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array} = \begin{array}{|cc|} -3 & -1 \\ -2 & 0 \end{array} \cdot \overline{i} - \begin{array}{|cc|} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \cdot \overline{j} + \begin{array}{|cc|} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array} \cdot \overline{k}$
$[|\overline{p_1} × \overline{p_2} |]= -2 \overline{i} - \overline{j} - \overline{k}$
Длина этого векторного произведения составит:
$\overline{p_1} × \overline{p_2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$
Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:
$ ρ(d_1d_2) = \frac{|4|}{\sqrt{6}} ≈ 1,63$
Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.
$g$: $\frac{x-1}{4} = \frac{y + 1}{6}= \frac{z+3}{8}$
$m$: $\frac{x+1}{2} = \frac{y - 1}{3}= \frac{z - 3}{4}$
Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:
$ρ(m;g) =\frac{|[\overline{r_2} - \overline{r_1} × \overline{s_1}]|}{|\overline{s_1}|}$, где
$\overline{r_2}, \overline{r_1}$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.
Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1=\{1; -1; -3\}$, а направляющий вектор $s_1 = \{4; 6; 8\}$.
Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2=\{-1; 1; 3\}$, а направляющий вектор $s_2 = \{2; 3; 4\}$.
Найдём векторную разность радиус-векторов:
$\overline{r_2} - \overline{r_1} = \{-1; 1; 3\} - \{1; -1; -3\} = \{-2;0;0\}$
Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:
$[\overline{r_2} - \overline{r_1} × \overline{s_1}] = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ -2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \\ \end{array} = - 16j – 12k = \{0;-16;-12\}$
$|[\overline{r_2} - \overline{r_1} × \overline{s_1}]| = \sqrt{(-16)^2 + (-12)^2} = 20$
$|\overline{s_1}| = \sqrt{4^2 + 6^2 +8^2} = 2\sqrt{29}$
$ρ(m;g) = \frac{20}{2\sqrt{29}} = \frac{10}{\sqrt{29}} ≈ 1.85$
